Как найти производную?

Правила дифференцирования.

Чтобы найти производную от любой функции, надо освоить всего три понятия:

1. Таблица производных.

2. Правила дифференцирования.

3. Производная сложной функции.

Именно в таком порядке. Это намёк.)

Разумеется, неплохо бы ещё иметь представление о производной вообще). О том, что такое производная, и как работать с таблицей производных - доступно рассказано в предыдущем уроке. Здесь же мы займёмся правилами дифференцирования.

Дифференцирование - это операция нахождения производной. Более за этим термином ничего не кроется. Т.е. выражения "найти производную функции" и "продифференцировать функцию" - это одно и то же.

Выражение "правила дифференцирования" относится к нахождению производной от арифметических операций. Такое понимание очень помогает избежать каши в голове.

Сосредоточимся и вспомним все-все-все арифметические операции. Их четыре). Сложение (сумма), вычитание (разность), умножение (произведение) и деление (частное). Вот они, правила дифференцирования:

	Действие	Производная
1	Производная суммы	(U+V)' = U'+V'
2	Производная разности	(U-V)' = U'- V'
3	Производная произведения	(U·V)' = U'·V +U·V'
4	Производная от произведения на постоянное число	(C·V)' = CV'
5	Производная частного

В табличке приведено пять правил на четыре арифметических действия. Я не обсчитался.) Просто правило 4 - это элементарное следствие из правила 3. Но оно настолько популярно, что имеет смысл записать (и запомнить!) его как самостоятельную формулу.

Под обозначениями U и V подразумеваются какие-то (совершенно любые!) функции U(x) и V(x).

Рассмотрим несколько примеров. Сначала - самые простые.

Найти производную функции y=sinx - x²

Здесь мы имеем разность двух элементарных функций. Применяем правило 2. Будем считать, что sinx - это функция U, а x² - функция V. Имеем полное право написать:

y' = (sinx - x²)' = (sinx)'- (x²)'

Уже лучше, правда?) Осталось найти производные от синуса и квадрата икса. Для этого существует таблица производных. Просто ищем в таблице нужные нам функции (sinx и x²), смотрим, какие у них производные и записываем ответ:

y' = (sinx)' - (x²)' = cosx - 2x

Вот и все дела. Правило 1 дифференцирования суммы работает точно так же.

А если у нас несколько слагаемых? Ничего страшного.) Разбиваем функцию на слагаемые и ищем производную от каждого слагаемого независимо от остальных. Например:

Найти производную функции y=sinx - x²+cosx - x +3

Смело пишем:

y' = (sinx)' - (x²)' + (cosx)' - (x)' + (3)'

Опять лезем в таблицу, находим там производные синуса, квадрата икса, косинуса, чистого икса и тройки. Что, тройки нет в таблице!? Ну да.) Тройка - постоянная величина, в таблице обозначена буквой "С". Производная любой постоянной величины равна нулю. Можно сразу записать ответ:

y' = cosx - 2x - sinx - 1

Как видим, первые два правила дифференцирования просты и безотказны.)

Переходим к примерам на правило 3. Производная произведения чуть посложнее, да...) Главное здесь - увидеть в исходной функции, что взять за U, а что - за V. Например:

Найти производную функции y=sinx · cosx.

Здесь всё очевидно. sinx - это U, cosx - это V. Пишем прямо по правилу:

y' = (sinx)' ·cosx + sinx · (cosx)' = cosx·cosx - sinx·sinx = cos²x - sin²x

Вот здесь, частенько, возникает вопрос: оставить результат, как есть, или преобразовывать и упрощать дальше? Ответ зависит исключительно от задания и пожеланий преподавателя.) Производную мы уже нашли. Обычно, если упрощение простое и очевидное, его нужно сделать. В нашем случае получилась формула косинуса двойного угла. Можно написать ответ:

y' = cos²x - sin²x = cos2x

Рассмотрим следствие из правила 3, т.е. правило 4. Эта формула получается прямо из производной для умножения функций. Если y=CU, где С - какое-то постоянное число, а U - любая функция, то:

y' =(C·U)' = C'·U + C·U' = 0·U + C·U' = C·U'

Словами говорят, что постоянную можно вынести из под знака производной.

Это маленькая, но очень полезная формулка. Позволяет делать кучу действий в уме. Например, по этому правилу все производные от выражений, типа 5х, 3,4х, -2х и так далее, сразу же превращаются в постоянные числа:

(5х)' = 5·(x)' = 5·1 = 5

(-2х)' = -2·(x)' = -2·1 = -2

Ну, вы поняли.) Пример посложнее:

Найти производную функции y=5sinx - 3x².

Если расписывать подробно, получится вот так:

y' = (5sinx - 3x²)' = (5sinx)'- (3x²)'

В скобках - произведения функций (постоянное число - тоже функция!). К первой и второй скобкам надо бы использовать правило 3, но сокращённый вариант (правило 4) - куда приятнее! Просто выносим числа за знак производной:

y' = (5sinx)'- (3x²)' = 5(sinx)'- 3(x²)'

Далее находим в таблице значения производных и результат просто умножаем на эти числа:

y' = 5(sinx)'- 3(x²)' = 5cosx - 3·2x = 5cosx - 6x

Переходим к производной частного. Правило 5 - самое злое, да...) Расписывать да считать подольше приходится. Но... тут уж ничего не поделаешь. Против законов математики протестовать глупо.) Хотя, в качестве бонуса, помогу.) Расскажу, чуть ниже, о случаях, когда эту формулу применять не надо. Так как есть более простые варианты. А сейчас - пример:

Найти производную функции

Расписываю по правилу 5. Подробно, со всеми скобочками и штрихами:

Берём производные (они табличные) в правой части:

Приводим к приличному виду:

Если требуется дальнейшее упрощение, можно в числителе вынести икс за скобки и сократить с иксом в знаменателе. Получим ответ:

Вот мы и рассмотрели, как находить производные функций с помощью правил дифференцирования.

Разумеется, сумма, разность, частное и произведение могут комбинироваться в самых разных сочетаниях. Например:

Продифференцировать функцию:

y=(x²+2) · (x³-4)

Здесь под функцией U скрывается выражение (x²+2), а под функцией V - выражение (x³-4). Расписываем прямо по правилу:

y' = (x²+2)' · (x³-4) + (x²+2) · (x³-4)'

Теперь нужно довести дело до конца, т.е. вычислить производные от скобок. Штрих поставить - не означает "взять производную"...) В первых скобках будет сумма функций:

(x²+2)' = (x²)' + 2' = 2x

Во вторых - разность функций:

(x³-4)' = (x³)' - 4' = 2x

Можно записать ответ:

y' = 2х · (x³-4) + (x²+2) · 3x²

Упрощаем, т.е. перемножаем и приводим подобные:

y' = 2x⁴-8х + 3x⁴+6x² = 5x⁴+6x²-8х

Вот и всё. Достаточно производную от злой функции расписать подробно, со всеми скобочками и штрихами, по подходящему правилу. Затем последовательно брать производные от скобочек. Всё и получится.

Всё просто, но... могут случиться и сюрпризы. Попадётся, например, вот такое задание:

Найти производную функции y=x³· sinx · cosx.

Здесь у нас умножаются три функции. Нет подходящего правила. Ничего страшного. Нас спасут... скобочки!) Мы вправе превратить умножение трёх функций в произведение двух, чтобы правило 3 в дело запустить. Просто возьмём за U и V то, что нам нужно. Например, пусть

U=x³· sinx

Тогда

V = cosx

Выделим эти U и V скобочками в исходной функции:

y=(x³· sinx) · (cosx).

Скобки никак не меняют исходную функцию, можно брать производную по правилу 3:

y'=((x³· sinx) · (cosx))'= (x³· sinx)'· (cosx)+(x³· sinx) · (cosx)'

Теперь видно, что в скобках (x³· sinx)' у нас опять произведение функций. Но уже двух, что попроще.) Можно расписать производную этих скобок отдельно. Теперь за U у нас пойдёт x³, а за V - sinx:

(x³· sinx)' = (x³)' · sinx +x³· (sinx)'= 3x²· sinx + x³· cosx

Вот практически и всё. Возвращаемся к исходной функции и вставляем наш результат промежуточного дифференцирования на своё место. Сразу же и производную от косинуса во втором слагаемом возьмём:

y'= (3x²· sinx + x³· cosx) · cosx + (x³· sinx) · (-sinx)

Производную нашли. Если требуется, перемножаем скобки и записываем ответ:

y'= 3x²· sinx · cosx + x³· cos²x - x³· sin²x

Замечу, что в этом примере U и V можно было выбрать по другому. За U взять x³, а за V - sinx · cosx. Это без разницы. Результат будет тот же самый.

Теперь - заслуженный бонус к правилу 5. В примерах постоянно приходится дифференцировать дроби. Что огорчает.) Но, если в знаменателе дроби - постоянное число, правила 5 можно избежать! Действия с дробями гласят, что деление можно заменить на умножение. Вот так:

Это даёт возможность вместо правила 5 использовать куда более простое и удобное правило 4. Например:

Найти производную функции:

В процессе дифференцирования слегка преобразуем исходную функцию. Превратим деление в умножение:

Вот так. Арифметика из младших классов ещё никому не мешала!)

Кстати, преобразование исходной функции перед дифференцированием вполне возможно и, иногда, очень помогает. Скажем, производная от функции:

берётся достаточно хлопотно. Таблицы производных и правил дифференцирования здесь недостаточно. Это сложная функция. Но если её преобразовать до дифференцирования, пример решается в уме. Как это сделать, написано в предыдущем уроке, пример № 3.

В конце урока дам советы по облегчению жизни при дифференцировании.)

Практические советы:

1. Перед дифференцированием смотрим, нельзя ли упростить исходную функцию.

2. В замороченных примерах расписываем решение подробно, со всеми скобочками и штрихами.

3. При дифференцировании дробей с постоянным числом в знаменателе, превращаем деление в умножение и пользуемся правилом 4.

Это помогает.)

<<<<   Предыдущая страница: Что такое производная? Таблица производных