Что такое функция?

Вопрос, конечно, интересный...) В школе термин "функция" употребляется сплошь и рядом и особых проблем не доставляет. До поры до времени. Как только с этими функциями начинается работа, вот тут и появляются вопросы, да... Бывает, функция так и остаётся монстром в тумане, с которым встречаться лишний раз не хочется. Но... Раз вы здесь, встретились, видимо...?)

Между тем, понятие функции является одним из главнейших во всей математике, науке, технике... Без этого понятия - никак. Вообще никак. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это достаточно просто. Если рискнуть, и... почитать.)

Начнём с представления о функции, затем освоим понятие функции. После этого определение функции окажется простым и вполне человеческим.

Представление о функции.

Ключевое слово в понятии функции - зависимость. Или - взаимосвязь. В повседневной жизни вы часто сталкиваетесь с функциональными зависимостями. И умело пользуетесь ими, да-да! Сомневаетесь? Тогда пара житейских примеров.

Допустим, вы идёте на встречу с приятелем. И чувствуете, что опаздываете. Что будете делать? Видимо, двигаться шустрее.) Вы твёрдо знаете: быстрей идёшь - меньше время на дорогу. Это общий закон. Время в пути зависит от скорости передвижения. Или, говоря более научно: время в пути есть функция скорости передвижения.

Ещё пример. Вы бросаете камешек в воду. На дальность. Разумеется, стараетесь швырнуть его посильнее. Вы знаете закон: дальность полёта зависит от силы броска. Другими словами: дальность полёта есть функция силы броска.

Вот вам и самое общее, житейское понятие о функции. Если какая-то величина А зависит от другой величины В, говорят, что величина А есть функция величины В. Зачем всё так трудно?! - слышу возмущённый вопрос. Ну зависит, и пусть зависит себе...

Конечно, камешек бросить и без функции можно. Но в обоих примерах есть незаметный, но оч-чень важный момент. Обратите внимание: зная закон зависимости, вы знаете, что нужно делать сейчас, чтобы получить нужный результат потом. Это не очень важно при бросании камешков. А если это не камешек, а ракета? Тогда очень желательно знать, куда она попадёт, да...) Причём, знать безошибочно! Ракета - не камешек, на берегу не валяется...

Оказывается, знание функциональных зависимостей позволяет просчитывать результат заранее. Заманчивые возможности, правда?)

В случае с ракетой, в любых технических (и не только!) применениях, люди просто обязаны просчитывать результат. Причём, безошибочно! Следовательно, на всякие взаимосвязи и зависимости требуется строгая математика. И она есть! Этот раздел математики называется "Математический анализ". Для студентов - просто "матан".) Элементы этого раздела - графики, функции, производные, интегралы - начинают осваивать ещё в школе.

Представление о функции - вещь полезная. Но, для строгой математики - недостаточная.

Двигаемся дальше.

Понятие функции.

Всяких величин в мире - колоссальное количество. И взаимосвязи между ними могут быть самые разнообразные. Но математика должна уметь работать со всеми... По одинаковым правилам. На то она и математика. Для начала, надо кратенько записать бесконечное множество существующих в мире взаимосвязей для бесконечного множества существующих в мире величин. Круто? А то!) Вот она, эта самая общая запись:

y = f (x)

Слева стоит буква игрек. Это и есть функция. Под этой буквой скрывается какая-то величина. Любая. Совсем любая. Это может быть время, температура, пройденный путь, сила тока, зарплата и всё, что угодно. Математике без разницы. Игрек, и всё тут. Игрек ещё называется зависимой переменной.

Справа мы видим х. Икс в скобочках. Под этой буквой тоже может скрываться любая величина. Икс на этом месте (в скобочках) называется независимой переменной. Есть ещё одно называние для икса. Он ещё называется аргумент.

И есть буква f. Под этой буквой скрываются все действия над иксом, какие можно только придумать. Не очень понятно, что это за действия? Читайте дальше, там подробненько будет...

Прошу отметить, что в этой записи важны не столько буквы, сколько скобочки.) Да-да! Именно скобочки показывают, что от чего зависит. Буквы могут быть и другие, например g, p, t, s и т.д. Но запись, например:

s = g(t)

означает, что s как-то зависит от t. В такой записи s - это функция (зависимая переменная), а t - аргумент (независимая переменная). Под буквой g скрываются какие-то действия, которые совершаются с аргументом t. Если же мы поменяем буквы местами, вот так:

t =g(s)

то поменяется и смысл записи. Функцией станет t, а аргументом - s.

Посмотрим на функцию в жизни?

Предположим, мы едем на автомобиле с какой-то средней скоростью 80 км/час. Далеко едем.) Смотрим на карту и прикидываем, где мы будем через два часа, через три... Мы знаем закон, что пройденный путь S равен скорости V, умноженной на время t.

S = V·t

Для нашей скорости 80 км/час:

S = 80·t

Т.е. через два часа мы проедем 80·2 = 160 километров, через три 80·3 = 240 километров... Элементарно, Ватсон!) Значит, между временем и расстоянием есть взаимосвязь. Значит, можно вспомнить понятие функции. Общая запись для функции:

y = f (x)

Под игреком в нашем случае скрывается путь S. Это зависимая переменная. Она может быть разная, (переменная же, не постоянная!) но зависит от времени.

Под иксом скрывается время t. Это независимая переменная. Потому, что мы её выбираем сами. Независимо ни от чего. Лично. Из головы, или из условия задачи. Хотим, возьмём время 3 часа. Хотим - 33. Хотим - семь часов и двенадцать минут... Функция всё равно сработает, как надо.

А вот путь S - какой уж получится. Для каждого времени - свой. Зависимость, понимаешь...)

Теперь вопрос на сообразительность. А что в нашей задаче скрывается под буквой f ? Не всех осеняет сразу...)

Под буковкой f скрывается действие - умножение на 80! Это как раз конкретный (наш!) закон, по которому наше время t превращается в путь S.

Можно, кстати, записать функцию, используя наши буквы:

S = f (t)

Это означает, что путь как-то зависит от времени. Это общая функция, для любого движения. А вот если мы запишем S = 80·t, это будет уже конкретная функция для наших конкретных условий.

Посмотрим на функции в алгебре?

В алгебре всё попроще будет. Но суть та же самая. Есть функция y, есть аргумент x и есть закон f, по которому x превращается в y. Например, имеется функция:

у = 2х + 3

С иксом всё понятно. Он - независимая переменная. С игреком - тоже. Он - функция. А в чём заключается закон (или правило) f ? Да ничего особенного. Этот закон говорит нам: чтобы получить (посчитать) у для любого (какого хотим) х, надо этот икс умножить на два и прибавить к результату тройку. Вот игрек и получится.

Зачем я всё время занудно про это правило f повторяю?) Да затем, чтобы определение функции, которое будет ниже, не поставило вас навечно в тупик! Кроме того, осознание правила f само по себе позволяет решать некоторые элементарные задания. Например, классика:

Дана функция y = f(x), где f(x) = 5х+8. Найти f(2), f(0).

Читаем задание и соображаем. Ну, y = f(x), это самая общая запись всех функций, тут ничего не найдёшь. А вот дальше эта самая f(x) написана конкретно: f(x) = 5х+8. Указаны все действия над иксом: помножить на 5 и прибавить 8. Найти нужно f(2). Это означает, что над двойкой нужно сделать те же самые действия. Те же самые, потому, что в этом задании одна и та же буква f. Одно и то же правило и для икса, и для двойки.

Говоря школьным языком, надо тупо подставить вместо икса двойку и посчитать, что получится. )

Получится:

f(2) = 5·2+8 = 18

Вот и ответ: f(2)=18. Аналогично считается f(0). Подставляем вместо икса ноль, и считаем:

f(0) = 5·0+8 = 8

Как видим, если в выражении стоит икс, это - функция. А если подставляем вместо икса число, получаем значение функции именно для этого числа. Кстати сказать, это же самое задание может быть записано в более коротком виде. Вот так:

Дана функция y(x) = 5х+8. Найти y(2), y(0).

Здесь вообще нет выражения f(x). Но знающий человек видит, что конкретная функция уже дана. А выражение y(2) означает те же действия, но не с иксом, а с двойкой. Потому, что в скобочках стоит двойка. Я же говорил, что главное здесь - скобочки!)

Возможно, кому-то это задание показалось неприлично примитивным. Ну, ладно. Вот задание посолиднее:

Дана функция y = f(x), где f(x) = 2х-1. Найти g(1), если g(х) = f(х²+1).

Если не понимать смысл обозначений, задание не решить, да... А если понимать - нет проблем! Нам надо найти g(1). Для этого надо знать g(х). Иначе - никак. Что мы будем с единичкой делать, если неизвестно, что с ней делать?! Функция g(х) нам дана, но как-то хитро... Через другую функцию. Надо как-то найти эту самую f(х²+1). Но мы же умные, мы обозначения понимаем?) Что означает запись f(x) = 2х-1 ? Эта запись означает, что в этой функции х (он в скобочках) всегда умножается на 2 и от результата отнимается единичка.

Стало быть, если нужно найти f(х²+1), надо проделать те же самые действия, сработать по тому же правилу, но не с иксом, а с выражением х²+1. Т.е. вместо х подставить в функцию х²+1, да и посчитать результат. И все дела. Вот и пишем:

f(х²+1) = 2 · (х²+1)-1 = 2х²+2-1 = 2х²+1

Значит, g(х) = 2х²+1.

Здесь нужно сообразить, что в выражении g(х) буква g - это тоже правило действий над иксом. Как и f. Только действия эти другие. Именно поэтому и введены две буквы, f и g в этом задании, чтобы указать на разницу. Но смысл этих букв одинаков. Стало быть, чтобы найти g(1), надо в функцию g(х) вместо икса подставить единичку:

g(1) = 2 · 1²+1 = 3

В этом уроке постоянно повторяются слова: зависимость, соответствие, связь, закон, правило.... Все эти термины объединяются в понятии функции. Главное, без чего нет функции, - это взаимосвязь каких-то переменных величин.

Кстати, эта взаимосвязь может быть дана и не формулой. Скажем, табличка, где каждому значению икса соответствует какое-то значение игрека - это тоже функция. Есть взаимосвзь - есть функция. Или график, где можно определить значение игрека для выбранного икса - тоже функция. Но о разных способах задания функции мы поговорим подробнее в другом уроке.

Здесь нужно просто понять, что работа с функциями (матанализ) изрядно отличается от работы с числами (арифметика) и буквами (алгебра). Хотя и не отменяет этих наук.

С какими функциями будем работать?

Ответ простой: с любыми.) Но все они будут числовыми и однозначными. Именно с такими функциями работает матанализ в школе и ВУЗе. Поясню смысл этих терминов. Это важно для выполнения некоторых заданий. И общего развития, да...

Под научным названием "числовые функции" скрывается простой смысл. Переменные величины в таких функциях могут принимать только числовые значения. Только числа. Вот и весь смысл.

Чтобы было понятнее, приведу примеры НЕ числовых функций. Скажем, настроение человека однозначно зависит от количества денег в потерянном кошельке, правда?) Есть зависимость, значит есть функция. Но, если аргумент (деньги) - вполне выражается числом, то выразить настроение в числах затруднительно...

Или, представим игру. Один человек называет любую гласную букву, другой в ответ обязан назвать любую согласную. Взаимосвязь налицо, функция есть. Но... НЕ числовая.

Думаю, с числовыми функциями всё понятно.

С однозначными функциями вопрос похитрее будет. Сам по себе смысл этого понятия прост. Любому значения аргумента, т.е. независимой переменной, соответствует единственное значение функции. Другими словами, какой икс не бери, из него получится один игрек. А не два, или 15. Элементарно, но на практике случаются непонятки.)

Скажем, в функции y=x² для х=2 и х=-2 мы получим одинаковые значения y=4. Т.е. для двух разных иксов получается один игрек. Где однозначность!? Ничего страшного, она на месте. Дело в том, что, при расчёте для х=2, мы получили один игрек. И при расчёте с х=-2 мы получили один игрек. То, что они оказались одинаковые - не повод обвинять функцию в неоднозначности.)

А вот функция, скажем, y=±x будет неоднозначной. Захотим посчитать её значение, к примеру, для х=2... Получим y=±2. На один икс получили два игрека: y=+2 и y=-2. И с каким игреком работать!? Существует, конечно, понятие многозначной функции, но с такими вещами в матанализе не работают. Там проще поступают. Выражение y=±x разбивается на два: y=+x и y=-x. Каждое из этих выражений - вполне себе приличная функция. Вот и работаем с каждой по отдельности. Потом, если надо, как-то связываем результаты.

Кстати, игра в буквы, которую я придумал чуть выше, иллюстрирует понятие НЕ числовой и НЕ однозначной функции. Кошмар какой-то...

В матанализе НЕ числовые и (или) НЕ однозначные функции за функции не считаются.)

Надеюсь, с понятием функции всё более-менее ясно. Теперь можно въехать и в определение функции. А то, если с него начинать, функция навсегда монстром остаться может...)

Определение функции.

Наиболее популярное определение функции сводится к следующему:

Функцией называется правило f, по которому каждому элементу х множества Х ставится в соответствие единственный элемент у множества У.

Человеку, который не в теме, так просто не понять... Но вы-то уже в теме?)

Множество Х для числовых функций - это просто набор всех возможных значений икса. Элементом х называется любое конкретное число из этого множества. Про правило f я уже говорил, но... Так уж и быть, ещё раз.)

Для функции у = 2х + 3, например, Х - это множество всех чисел. Вообще всех. Элемент х - любое число. 5 - элемент, и 117 - элемент, и -0,34 - элемент.

А правило f - это действие над иксом. В данном случае правило гласит: "Умножить икс на два и к результату прибавить три". Каждому иксу соответствует (т.е. ставится в соответствие) свой игрек именно по этому правилу.

Ну, элемент у, понятно, это конкретное значение для конкретного икса. А множество У - это набор всех возможных значений игрека.

Замечу (на всякий случай), что данные буквы (х, Х, у, У, f) относятся к самой популярной записи функции: y = f(x). Но если будут другие буквы, смысл определения функции сохраняется.)

Вот и все дела. Иногда говорят ещё короче:

Функция есть закон отображения множества Х на множество У.

Суть та же. Только фраза "ставить в соответствие" заменена на понятие "отображать".

Бывает, в голове возникает некоторая путаница... Как так?! Всё время называем игрек функцией, работаем с ним, как с функцией, а в определении функции какое-то правило f прорезалось!?

Вношу ясность.

Дело в том, что функцией называется не только правило, но и сама зависимая переменная у. По той простой причине, что в записи конкретной функции именно игрек и показывает, что надо делать с иксом, показывает это самое правило f. Если, скажем, y=x², правило - это возведение в квадрат. Если y=5x, правило - умножение на пять. Именно через игрек слова "возведение в квадрат", "умножение на пять" и т.д. переводятся в математическую запись. И никак иначе.

Поэтому игрек - и зависимая переменная, и функция (т.е. правило f). Одновременно.

Очень часто в определении функции присутствуют названия множеств Х и У. Множество Х - область определения функции, множество У - область значений функции. Это очень важные понятия. И вполне заслуживают отдельных уроков.)

Но, прежде всего, имеет смысл разобраться: какие же бывают эти самые правила f, о которых говорится в определении функции? Об этом - в следующем уроке.

Следующая страница: Способы задания функции.  >>>>